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向青年学生教授高级数学

最近有很多关于快速通道系统的讨论,它们根据能力来划分班级,并为高概念学习提倡越来越早的开始时间。但是一些研究也表明,低估学生意味着他们可能不会受到挑战。

我们都在某一点或另一点上低估了学生:当某些学生难以掌握许多概念时,可能很难相信他们。但是,根据我的经验发现,如果老师足够勇敢地为他们设置标准,那么学生可以达到很高的标准。

我在一所小型的个性化私立学校任教,这所学校摆脱了快速跟踪的狂热,其数学文化使人们可以自由安排节奏和课程。没人需要指定他们对学生的期望,相反,我自己弄清楚了这一点,并且有能力在我认为合适的情况下挑战他们。但是我知道许多读者发现自己处于更加受限制的教学环境中。

给中学生高中数学

我为初中课程创建的一门课是基础代数课程。全班包括八年级学生,两名七年级学生,甚至是六年级学生。它涵盖了普通学生在高中时看到的大部分内容:解决理性表达;强调二次方;绘制线性函数,复数函数和多项式的图形;组合学 几何证明;和多步方程式,以列出课程中的一些要点。

我没有告诉学生材料是高中水平的。我发现,他们很自然地将想法互相融合,并将他们以前在课程中学到的知识联系起来,以建立一个适合每个人个人的知识库-这种参与至关重要。

很多时候,我介绍了一个想法,并提出了非常棘手的问题,但并没有给予深刻的指导。相反,我期望学生们自己或与伴侣一起解决的例子和问题会邀请他们将思想连接到自己认为有意义的事物上。

例如,一所关于指数性质的中学课程涉及提供一种性质X A X B = X A + B,并让学生使用该性质来有条理地仅使用他们先前证明的那些得出每个随后的指数性质。在一个这样的情况下,六年级生注意到执行X A / X B与将X A X -B乘以反数的定义相同(六年级生!)。然后她问我们是否可以使用指数的第一个属性来添加正A幂和负B幂。

起初,我对在如此短的时间内将属性相互关联的快速能力感到震惊(这全都是一个小时的课程)。然后,我意识到我从未将材料表述为学生期望达到的范围之外,因此对他们来说,这些概念正是典型的中学生应该看到的-他们不知道这是高中材料,并且他们不容易放弃。我一直想知道我是否在过早地教授这种材料,但是学生们却迎接了挑战。

另一个例子:我的大多数学生用理性表达来做的工作都归结为学生可以简化它们的程度,以显示对过程的日益熟悉,这样一来,这便是第二自然,可以教更多高级的材料而不会拖延学习。 “小事”-实际上,整整一个星期都致力于实践这一想法。

以(X-1)/ X的基本示例为例。我提出的问题是,这是否仍可以进一步简化。最初,一个常见的(也是不正确的)响应是变量可以取消,从而保留-1。我的回答仅仅是索要该假设成功的示例(不接受或否认其先前的结果)。学生们已经知道,只有几个例子不足以证明一个猜想,只有一个例子无法奏效的情况才足以证明这一点(我们即将讨论反例的概念)。

突然,一位七年级学生意识到减法和除法不是相反的运算,因此它们无法像求解方程时一样取消。这真是一个奇妙的启示,所有人都同意。

坚持不懈

这些经验不是关于高年级的解决方案,而是关于探索推理的概念的,约翰·霍尔特经常在他的作品中强调这些知识,特别是他的书《孩子如何失败》,我不能为所有层次的数学老师推荐足够的东西。经验。

我想起了一位教育工作者曾经告诉我的故事。一位老师进行了两个班的实验,学习了相同的材料。在其中,她称赞了学生们的成功职业道德。另一方面,她重视聪明。在单元结束时,被告知要努力工作以取得成功的孩子很少放弃,他们从课堂上得到了更多。

我的学生不知道该材料被认为超出了他们的能力范围。再一次,我知道我们不能都以这种方式进行教学,但是课程中确实出现的材料可以通过鼓励的方式进行构架。这一切都取决于我们如何预计学生的能力,以及不低估学生的能力。

改变它,坚持不懈,探索。我们的孩子将迎接挑战。

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