发表在SIAM Journal on Applied Mathematics 上的研究描述了一种新的数学模型，用于研究跨社交网络的影响。使用拓扑领域的工具，Robert Ghrist 和博士。研究生 Jakob Hansen 开发了一个框架来跟踪意见如何在各种场景中随时间变化，包括个人可以使用欺骗行为和宣传代理可以推动群体达成共识的场景。

随着社交媒体平台的兴起，人们越来越有兴趣开发不同类型的模型来研究网络行为;在数学中，这意味着研究网络、个体群体(称为节点)以及它们之间的联系(称为边)。Ghrist 说，当前的挑战是开发数学框架，该框架可以包含更广泛的功能，以帮助对更真实的场景类型进行建模。

“有很多人推出了具有一两个新颖特征的模型;一种允许多种观点，另一种允许人们有选择地向邻居撒谎，另一种则引入宣传员，”他说。“我们想要做的是提出一个框架，该框架可以包含所有这些不同方面，但仍然能够证明关于模型行为的严格定理。”

为此，Ghrist 和 Hansen 使用了以前在他们的小组中使用过的称为滑轮的拓扑工具。Sheaves 是代数数据结构或向量空间的集合，它们连接到网络并将信息链接到单个节点或边。以交通网络为例，其中火车站是节点，轨道是边，滑轮用于携带有关网络的信息，例如乘客计数或准点发车次数，不仅针对特定车站，而且还有车站之间的连接。

“这些向量空间可以具有不同的特征和维度，它们可以编码不同数量和类型的信息，”Ghrist 说。“所以滑轮由每个节点顶部的向量集合和每条边以及将它们连接在一起的矩阵组成。总的来说，这是一个漂浮在网络顶部的大数据结构。”

使这项工作成为可能的核心数学概念之一是将拉普拉斯算子和扩散动力学纳入模型。拉普拉斯算子被用于意见动态的经典研究中，该研究发现，对于对特定主题(例如他们对的意见从 1 到 10)具有不同意见的个人，与网络中的邻居互动会将他们的意见转向当地平均值。

“如果这是一个准确的模型，那将意味着我们在社交媒体上相互交谈的次数越多，我们就越相信同一件事，”Ghrist 说。“结果不太好，并导致我们解决了解释分裂或极化的问题。因此，我们在论文中所做的是构建这个新框架，以适应经典情况的各种有趣的扭曲。”

通过将拉普拉斯算子纳入他们的“话语剃须”，研究人员能够创建一个意见动态模型，该模型非常灵活，并且能够合并各种场景、参数和特征。这包括让座席可以在特定主题上撒谎，或者根据他们的联系方式向他人讲述不同的意见，所有这些都在严格且可测试的数学框架内。

“这里的关键数学创新是滑轮的拉普拉斯算子，它允许系统以这样一种方式进化，您可以证明公众共识的结果。当我们运行某些示例时，我们看到的是，您可以拥有人们开始成为邻居的系统并且非常有分歧，系统自然而然地朝着公共协议发展，而人们可以保留他们的私人意见，”格里斯特说。

Ghrist 说，另一个有趣的发现是，如何使用“共同源性”来表征该模型何时既可观察又可控制，这意味着人们可以通过将特定代理指定为输入来使社交网络演变为特定意见，那些广播宣传，而其他人作为输出，观察到跟踪意见变化的那些。Ghrist 说：“在某些情况下，您可以指定一组目标个人并通过在网络中进行宣传并让系统发展来控制他们的意见，”Ghrist 补充说，虽然调查结果令人担忧，但使用这些方法之间存在差距模型来研究网络与控制思想如何在现实世界中传播。

Ghrist 和他的团队的下一步是找到处理更复杂滑轮的方法，例如使用逻辑语句而不是数值的滑轮。“与此相关的数学挑战是巨大的，我和我的团队一直在努力提升所有数学知识以合并这些更复杂的数据类型，”他说。

Ghrist 还希望来自经济学和神经科学等各个其他领域的研究人员会发现这些工具因其适应性和灵活性而有用。“Sheaf 理论是在 1950 年代发展起来的，但它是这些东西之一，从未跨入应用数学，部分原因是它非常抽象，”他说。“我已经工作了大约 15 年，将层和层理论中的想法应用到人们可以在数学之外使用的环境中，我希望这篇论文真的朝着这个方向推动了事情。”