【什么叫累次极限】在数学分析中，尤其是多元函数的研究中，“累次极限”是一个重要的概念。它用于描述当多个变量依次趋于某个值时，函数的极限行为。理解累次极限有助于更深入地掌握多元函数的极限性质。
一、什么是累次极限？
累次极限（也称“逐次极限”）是指在多变量函数中，先固定一个变量，让另一个变量趋近于某个值，然后再让第一个变量趋近于该值的过程。例如，对于函数 $ f(x, y) $，其累次极限可以表示为：
- 先让 $ x \to a $，再让 $ y \to b $，即：
$$
\lim_{y \to b} \left( \lim_{x \to a} f(x, y) \right)
$$
- 或者先让 $ y \to b $，再让 $ x \to a $，即：
$$
\lim_{x \to a} \left( \lim_{y \to b} f(x, y) \right)
$$
这两个过程的结果可能不同，也可能相同，这取决于函数的结构和定义域。
二、累次极限与重极限的区别
| 概念 | 定义 | 是否要求所有路径一致 | 是否依赖变量顺序 |
| 累次极限 | 先对一个变量取极限，再对另一个变量取极限 | 否 | 是 |
| 重极限 | 多个变量同时趋于某一点，不考虑变量变化的先后顺序 | 是 | 否 |
说明：
累次极限的值可能因变量顺序不同而不同；而重极限则要求无论从哪个方向接近，结果都一致。
三、举例说明
设函数 $ f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} $
1. 计算累次极限：
- 先令 $ x \to 0 $，再令 $ y \to 0 $：
$$
\lim_{y \to 0} \left( \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} \right) = \lim_{y \to 0} \left( \frac{-y^2}{y^2} \right) = -1
$$
- 先令 $ y \to 0 $，再令 $ x \to 0 $：
$$
\lim_{x \to 0} \left( \lim_{y \to 0} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} \right) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{x^2}{x^2} \right) = 1
$$
所以，累次极限不相等。
2. 计算重极限：
$$
\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}
$$
由于沿不同路径（如 $ y = x $ 或 $ y = 0 $）得到不同结果，因此重极限不存在。
四、总结
| 内容 | 说明 |
| 累次极限 | 逐次对变量取极限，结果可能因顺序不同而不同 |
| 重极限 | 多变量同时趋于某点，结果必须唯一 |
| 应用场景 | 分析多元函数的极限行为，判断函数是否连续或可微 |
| 注意事项 | 累次极限存在不代表重极限存在，反之亦然 |
通过理解累次极限的概念及其与重极限的区别，我们可以更全面地分析多元函数的极限性质，为后续学习偏导数、全微分等内容打下基础。