【面面垂直的判定】在立体几何中，两个平面之间的位置关系有多种，其中“面面垂直”是一种重要的情况。判断两个平面是否垂直，是空间几何中的基本问题之一。下面将从判定方法、条件和应用等方面进行总结，并以表格形式清晰展示。
一、面面垂直的判定方法
1. 定义法：如果一个平面内的一条直线与另一个平面垂直，则这两个平面互相垂直。
- 即：若 $ l \subset \alpha $，且 $ l \perp \beta $，则 $ \alpha \perp \beta $。
2. 二面角法：两个平面所形成的二面角为直角（90°），则这两个平面垂直。
- 可通过作棱的垂线，计算二面角的大小来判断。
3. 向量法：利用平面的法向量判断两平面是否垂直。
- 若两个平面的法向量 $ \vec{n_1} $ 和 $ \vec{n_2} $ 满足 $ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 $，则两平面垂直。
4. 坐标法：在三维坐标系中，已知两平面方程，可通过其法向量的点积来判断是否垂直。
二、面面垂直的判定条件总结
| 判定方法 | 条件描述 | 应用场景 |
| 定义法 | 一个平面内有一条直线垂直于另一个平面 | 基础几何题中常用 |
| 二面角法 | 两平面所成的二面角为90° | 空间图形分析中使用 |
| 向量法 | 平面法向量点积为0 | 数学计算和证明中广泛使用 |
| 坐标法 | 平面方程法向量点积为0 | 坐标几何和解析几何中常见 |
三、典型例题分析
例题1：已知平面α的法向量为 $ \vec{n_1} = (1, 2, 3) $，平面β的法向量为 $ \vec{n_2} = (-2, 1, 0) $，判断两平面是否垂直。
解：
计算点积：
$ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(-2) + (2)(1) + (3)(0) = -2 + 2 + 0 = 0 $
因为点积为0，所以两平面垂直。
四、总结
面面垂直的判定是立体几何中的重要内容，掌握不同的判定方法有助于解决实际问题。无论是通过几何定义、二面角、向量还是坐标的方法，都可以有效判断两平面是否垂直。在学习过程中，应注重理解每种方法的适用条件和操作步骤，提高空间想象能力和逻辑推理能力。
如需进一步练习或深入理解，可结合具体题目进行分析和推导。