【等差数列总和公式】在数学中，等差数列是一种常见的数列形式，其特点是每一项与前一项的差是一个常数。这个常数被称为公差。等差数列的总和公式是解决相关问题的重要工具，能够快速计算出一系列连续数的总和。
等差数列的总和公式为：
$$
S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)
$$
其中：
- $ S_n $ 表示前 $ n $ 项的和；
- $ a_1 $ 是首项；
- $ a_n $ 是第 $ n $ 项；
- $ n $ 是项数。
此外，也可以使用另一种表达方式：
$$
S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d
$$
其中：
- $ d $ 是公差。
这两种公式本质上是相同的，只是表达方式不同，可以根据题目给出的信息选择更合适的公式进行计算。
等差数列总和公式总结表
| 公式名称 | 公式表达式 | 适用条件 |
| 总和公式一 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | 已知首项、末项和项数 |
| 总和公式二 | $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | 已知首项、公差和项数 |
实例解析
假设有一个等差数列：2, 5, 8, 11, 14
- 首项 $ a_1 = 2 $
- 公差 $ d = 3 $
- 项数 $ n = 5 $
- 第5项 $ a_5 = 14 $
根据公式一计算总和：
$$
S_5 = \frac{5}{2}(2 + 14) = \frac{5}{2} \times 16 = 40
$$
根据公式二计算总和：
$$
S_5 = \frac{5}{2}[2 \times 2 + (5 - 1) \times 3] = \frac{5}{2}[4 + 12] = \frac{5}{2} \times 16 = 40
$$
两种方法得到的结果一致，验证了公式的正确性。
通过掌握等差数列的总和公式，可以更高效地解决实际问题，如计算工资增长、利息累计、运动训练量等场景中的数值求和问题。理解并灵活运用这些公式，有助于提升数学思维能力和实际应用能力。