【数列公式总结】在数学中，数列是按一定顺序排列的一组数，常见的数列包括等差数列、等比数列、递推数列等。掌握这些数列的公式对于解题和理解数列规律非常重要。以下是对常见数列公式的总结，便于查阅与复习。
一、等差数列（Arithmetic Sequence）
定义：一个数列中，每一项与前一项的差为定值，这个定值称为公差（d）。
通项公式：
$$ a_n = a_1 + (n - 1)d $$
求和公式：
$$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $$
二、等比数列（Geometric Sequence）
定义：一个数列中，每一项与前一项的比为定值，这个定值称为公比（r）。
通项公式：
$$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $$
求和公式（当 $ r \neq 1 $ 时）：
$$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $$
三、递推数列（Recursive Sequence）
定义：通过前几项来定义后续项的数列。
示例：
斐波那契数列：
$$ a_1 = 1, a_2 = 1, a_n = a_{n-1} + a_{n-2} \quad (n \geq 3) $$
特点：通常没有统一的通项公式，需通过递推关系逐步计算。
四、特殊数列公式汇总表
| 数列类型 | 通项公式 | 求和公式（若适用） | 公差/公比 |
| 等差数列 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | d |
| 等比数列 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ | r |
| 递推数列 | 无固定公式 | 无固定公式 | — |
| 常数数列 | $ a_n = c $（c为常数） | $ S_n = n \cdot c $ | — |
五、注意事项
1. 等比数列的公比不能为1，否则会变成等差数列。
2. 等差数列的公差可以为正、负或零，分别表示数列递增、递减或不变。
3. 递推数列需要初始项和递推关系，才能确定整个数列。
4. 实际应用中，数列公式常用于金融计算、数学建模、算法分析等领域。
通过以上总结，可以系统地了解不同数列的性质及公式，有助于提高解题效率和逻辑思维能力。建议结合练习题进行巩固，以加深对数列概念的理解。