【反三角函数公式】在数学中，反三角函数是三角函数的反函数，用于求解已知三角函数值所对应的角度。常见的反三角函数包括反正弦（arcsin）、反余弦（arccos）、反正切（arctan）等。这些函数在微积分、物理、工程等领域有广泛应用。
为了便于理解和使用，以下是对常见反三角函数的公式进行总结，并以表格形式展示其定义域、值域及基本性质。
一、反三角函数的基本概念
| 函数名称 | 符号表示 | 定义 | 定义域 | 值域 |
| 反正弦 | arcsin x | y = arcsin x，当且仅当 sin y = x | [-1, 1] | [-π/2, π/2] |
| 反余弦 | arccos x | y = arccos x，当且仅当 cos y = x | [-1, 1] | [0, π] |
| 反正切 | arctan x | y = arctan x，当且仅当 tan y = x | (-∞, +∞) | (-π/2, π/2) |
二、反三角函数的导数公式
| 函数名称 | 导数表达式 |
| arcsin x | $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| arccos x | $ -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| arctan x | $ \frac{1}{1 + x^2} $ |
三、反三角函数的恒等式
| 恒等式 | 表达式 |
| arcsin x + arccos x | $ \frac{\pi}{2} $ |
| arctan x + arctan (1/x) | $ \frac{\pi}{2} $（当x > 0时） |
| arctan x - arctan y | $ \arctan\left( \frac{x - y}{1 + xy} \right) $（当xy > -1时） |
四、反三角函数的图像特征
- arcsin x：图像在区间[-1, 1]上单调递增，对称于原点。
- arccos x：图像在区间[-1, 1]上单调递减，对称于y轴。
- arctan x：图像在实数范围内单调递增，水平渐近线为±π/2。
五、反三角函数的应用举例
1. 求角度：若已知一个直角三角形的两条边，可通过反三角函数计算夹角。
2. 积分与微分：在计算某些积分时，如 ∫ dx / (1 + x²)，可利用 arctan x 的导数进行简化。
3. 信号处理：在傅里叶变换和信号分析中，反三角函数常用于相位计算。
六、小结
反三角函数是解决三角函数逆问题的重要工具，掌握其定义、导数、恒等式和图像特征，有助于更深入地理解三角函数的性质及其应用。通过表格形式的整理，可以更清晰地比较不同反三角函数之间的异同，提升学习效率。
原创内容声明：本文内容基于基础数学知识编写，旨在提供关于反三角函数的系统性总结，避免直接复制网络资源，确保内容原创性。