【隔板法解排列组合问题】在排列组合问题中，有一类问题涉及将若干相同的物品分配给不同的对象，且每个对象至少获得一个物品。这类问题可以通过“隔板法”来解决。隔板法是一种直观而高效的数学方法，适用于某些特定类型的组合问题。
一、隔板法的基本原理
隔板法的核心思想是：将n个相同的物品排成一行，在它们之间插入k-1个隔板，以将这些物品分成k组。每组的物品数量即为该组所对应的对象所获得的数量。
例如，若要将5个相同的苹果分给3个小朋友，每个小朋友至少得到1个苹果，那么可以将5个苹果排成一行，有4个空隙可以插入隔板，从中选择2个位置插入隔板，形成3组。
计算方式为：
$$
C(n-1, k-1)
$$
其中，n表示物品总数，k表示对象数（即分组数）。
二、适用条件
隔板法适用于以下情况：
| 条件 | 是否适用 |
| 物品是否相同 | ✅ 是 |
| 对象是否不同 | ✅ 是 |
| 每个对象至少获得1个物品 | ✅ 是 |
| 是否允许某个对象获得0个物品 | ❌ 否（除非特别说明） |
如果允许某些对象获得0个物品，则需要进行调整，通常采用“补1法”或“转换法”。
三、典型例题与解析
| 题目 | 解析 | 公式 | 答案 |
| 将7个相同的球分给3个盒子，每个盒子至少1个球 | 将7个球排成一行，有6个空隙，选2个放隔板 | $ C(6, 2) $ | 15 |
| 将10个相同的糖果分给4个小朋友，每个至少1个 | 10个糖果排成一行，有9个空隙，选3个放隔板 | $ C(9, 3) $ | 84 |
| 将5个相同的书分给3个书架，允许有空书架 | 可先每人分1本书，再将剩余2本任意分配 | $ C(5+3-1, 3-1) = C(7, 2) $ | 21 |
| 将8个相同的笔分给2个同学，允许有0个 | 直接使用公式 $ C(8+2-1, 2-1) = C(9,1) $ | $ C(9,1) $ | 9 |
四、总结
隔板法是一种简洁而实用的方法，用于解决“将n个相同的物品分配给k个不同对象”的组合问题。其关键在于理解“隔板”如何分割物品，并根据题目条件判断是否允许对象获得0个物品。通过灵活运用隔板法，可以快速求解许多常见的排列组合问题。
| 方法 | 适用条件 | 公式 | 示例 |
| 隔板法（每组至少1个） | 物品相同、对象不同、每组至少1个 | $ C(n-1, k-1) $ | 分7个球给3人 |
| 隔板法（允许0个） | 物品相同、对象不同、允许0个 | $ C(n+k-1, k-1) $ | 分5本书给3个书架 |
通过掌握这些基本规则和应用场景，可以更高效地应对排列组合中的相关问题。