【概率论复习重点】在学习概率论的过程中，掌握核心概念和基本方法是提高理解力和解题能力的关键。以下是对概率论主要知识点的总结，便于复习与记忆。
一、基本概念
| 概念 | 定义 |
| 随机试验 | 在相同条件下可以重复进行，结果不确定但所有可能结果已知的试验 |
| 样本空间 | 所有可能结果组成的集合，记为 $ S $ |
| 事件 | 样本空间的一个子集，表示某些结果的发生 |
| 随机变量 | 将样本空间中的每个结果映射到实数的函数 |
| 概率 | 表示事件发生的可能性大小，范围在 [0,1] 之间 |
二、概率的基本性质
| 性质 | 内容 |
| 非负性 | 对任意事件 $ A $，有 $ P(A) \geq 0 $ |
| 正则性 | $ P(S) = 1 $ |
| 可列可加性 | 若 $ A_1, A_2, \ldots $ 是互不相容事件，则 $ P(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i) $ |
三、条件概率与独立性
| 概念 | 公式 | |||
| 条件概率 | $ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $，其中 $ P(B) > 0 $ | ||
| 独立事件 | 若 $ P(A \cap B) = P(A)P(B) $，则称事件 $ A $ 和 $ B $ 相互独立 | |||
| 全概率公式 | $ P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i)P(A | B_i) $，其中 $ B_1, B_2, \ldots, B_n $ 是一个完备事件组 | ||
| 贝叶斯公式 | $ P(B_i | A) = \frac{P(B_i)P(A | B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(B_j)P(A | B_j)} $ |
四、随机变量及其分布
| 类型 | 分布名称 | 特点 |
| 离散型 | 二项分布 | 描述 $ n $ 次独立试验中成功次数的概率分布 |
| 离散型 | 泊松分布 | 描述单位时间内发生某事件次数的概率分布 |
| 连续型 | 正态分布 | 最常见的连续分布，具有对称性，参数为均值和方差 |
| 连续型 | 均匀分布 | 在区间内概率密度恒定 |
| 连续型 | 指数分布 | 描述事件发生时间间隔的概率分布 |
五、期望与方差
| 概念 | 公式 |
| 数学期望（期望） | $ E(X) = \sum_{x} xP(X=x) $ 或 $ \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx $ |
| 方差 | $ Var(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2 $ |
| 协方差 | $ Cov(X,Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))] $ |
| 相关系数 | $ \rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}} $ |
六、大数定律与中心极限定理
| 定理 | 内容 |
| 大数定律 | 当试验次数趋于无穷时，频率趋于概率，平均值趋于期望值 |
| 中心极限定理 | 大量独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布，无论原始分布如何 |
七、常见分布表
| 分布类型 | 参数 | 期望 | 方差 |
| 二项分布 | $ n, p $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 | $ \lambda $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 正态分布 | $ \mu, \sigma^2 $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 均匀分布 | $ a, b $ | $ \frac{a+b}{2} $ | $ \frac{(b-a)^2}{12} $ |
通过以上内容的系统梳理，可以帮助你更清晰地把握概率论的核心知识体系。复习时应注重理解概念之间的联系，并结合例题加深记忆。