【arcsinx求导】在微积分中，反三角函数的求导是一个重要的知识点。其中，arcsinx（即反正弦函数）的导数是学习微分时必须掌握的内容。本文将对 arcsinx 的导数 进行总结，并以表格形式清晰展示相关公式和推导过程。
一、arcsinx 求导的基本概念
arcsinx 是 sinx 的反函数，定义域为 [-1, 1]，值域为 [-π/2, π/2]。
它的导数可以通过反函数的求导法则进行推导。
二、arcsinx 的导数公式
设 $ y = \arcsin x $，则 $ x = \sin y $。
对两边关于 x 求导：
$$
\frac{dx}{dy} = \cos y
$$
因此，
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{\cos y}
$$
由于 $ \cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2} $，所以：
$$
\frac{d}{dx} (\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
$$
三、总结与表格展示
| 函数表达式 | 导数公式 | 定义域 | 值域 |
| $ y = \arcsin x $ | $ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | $ [-1, 1] $ | $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $ |
四、注意事项
- 导数中的根号下不能为负数，因此定义域限制为 $ x \in [-1, 1] $。
- 在实际应用中，若遇到 $ \arcsin u $，需使用链式法则求导：
$$
\frac{d}{dx} (\arcsin u) = \frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}
$$
五、小结
arcsinx 的导数 是一个基础但重要的微分公式，理解其推导过程有助于更好地掌握反函数求导的方法。通过表格形式可以更直观地对比函数与其导数之间的关系，便于记忆和应用。