【基本不等式公式有哪四个】在数学中，基本不等式是解决许多代数、几何和优化问题的重要工具。它们不仅在考试中频繁出现，也是数学思维训练的基础内容。常见的“基本不等式”通常指的是与均值不等式相关的四个重要公式，它们分别是：
一、
1. 算术平均-几何平均不等式（AM-GM 不等式）
这是最常见、最基础的不等式之一。它指出：对于任意非负实数 $ a_1, a_2, \ldots, a_n $，其算术平均大于等于几何平均，当且仅当所有数相等时取等号。
2. 柯西不等式（Cauchy-Schwarz 不等式）
柯西不等式是向量空间中的一个重要不等式，广泛应用于代数、分析和几何中，形式上适用于两个向量的点积与模长之间的关系。
3. 排序不等式（Rearrangement Inequality）
排序不等式涉及对两个有序序列进行乘积和的比较，强调了同序相乘和异序相乘的结果差异。
4. 均值不等式链（均值不等式系列）
包括算术平均、几何平均、调和平均和平方平均之间的大小关系，常用于比较不同类型的平均值。
这些不等式不仅是数学学习的重点，也常用于实际问题的建模与求解中。掌握它们有助于提高逻辑推理能力和数学素养。
二、表格展示
| 不等式名称 | 公式表达 | 适用条件 | 等号成立条件 |
| 算术平均-几何平均不等式 | $ \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} $ | $ a_i \geq 0 $ | $ a_1 = a_2 = \cdots = a_n $ |
| 柯西不等式 | $ (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2 $ | 任意实数 $ a_i, b_i $ | $ \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \cdots = \frac{a_n}{b_n} $ |
| 排序不等式 | 若 $ a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n $，$ b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n $，则 $ a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n \geq a_1b_{\sigma(1)} + \cdots + a_nb_{\sigma(n)} $ | 任意实数 $ a_i, b_i $ | 当且仅当 $ a_i $ 与 $ b_i $ 同序排列时成立 |
| 均值不等式链 | $ \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} \geq \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}} \geq \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}{n}} $ | $ a_i > 0 $ | 所有数相等时取等号 |
通过理解并熟练运用这四个基本不等式，可以更高效地处理各种数学问题，并提升自身的数学思维能力。