【复变函数与积分变换公式汇总】在数学的众多分支中，复变函数与积分变换是工程、物理和应用数学中的重要工具。它们不仅用于解决微分方程，还在信号处理、控制理论、电磁场分析等领域有广泛应用。本文对复变函数与积分变换的主要公式进行系统总结，便于查阅与复习。
一、复变函数基本概念
| 概念 | 定义 | ||
| 复数 | $ z = x + iy $，其中 $ x, y \in \mathbb{R} $，$ i^2 = -1 $ | ||
| 共轭复数 | $ \overline{z} = x - iy $ | ||
| 模长 | $ | z | = \sqrt{x^2 + y^2} $ |
| 极坐标形式 | $ z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta} $ | ||
| 指数形式 | $ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta $ |
二、复变函数的导数与解析性
| 概念 | 定义 |
| 导数 | 若极限 $ f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} $ 存在，则称 $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 可导 |
| 解析函数 | 在某点及其邻域内可导的函数称为解析函数 |
| Cauchy-Riemann 方程 | 设 $ f(z) = u(x, y) + iv(x, y) $，则需满足： $ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} $， $ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} $ |
三、复积分
| 类型 | 公式 |
| 积分路径 | $ \int_C f(z)\,dz $，其中 $ C $ 是复平面上的曲线 |
| Cauchy 积分定理 | 若 $ f(z) $ 在单连通区域 $ D $ 内解析，且 $ C $ 是 $ D $ 内闭合曲线，则 $ \int_C f(z)\,dz = 0 $ |
| Cauchy 积分公式 | 若 $ f(z) $ 在 $ D $ 内解析，$ z_0 \in D $，则 $ f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{f(z)}{z - z_0} dz $ |
| 高阶导数公式 | $ f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i} \int_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} dz $ |
四、级数展开
| 类型 | 公式 |
| Taylor 级数 | 若 $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 解析，则 $ f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z - z_0)^n $ |
| Laurent 级数 | 在 $ z_0 $ 的环形区域内，$ f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - z_0)^n $ |
| 奇点分类 | 可去奇点、极点、本性奇点 |
五、留数定理与应用
| 概念 | 公式 |
| 留数 | $ \text{Res}_{z=z_0} f(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_C f(z)\,dz $ |
| 留数定理 | 若 $ f(z) $ 在闭合曲线 $ C $ 内仅有限个奇点，则 $ \int_C f(z)\,dz = 2\pi i \sum \text{Res}(f, z_k) $ |
| 极点的留数 | 若 $ z_0 $ 是 $ n $ 阶极点，则 $ \text{Res}_{z=z_0} f(z) = \frac{1}{(n-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} [(z - z_0)^n f(z)] $ |
六、积分变换公式汇总
1. Fourier 变换
| 名称 | 公式 |
| 正变换 | $ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t} dt $ |
| 逆变换 | $ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{i\omega t} d\omega $ |
2. Laplace 变换
| 名称 | 公式 |
| 正变换 | $ \mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^{\infty} f(t)e^{-st} dt $ |
| 逆变换 | $ \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = f(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{c - i\infty}^{c + i\infty} F(s)e^{st} ds $ |
3. Z 变换
| 名称 | 公式 |
| 正变换 | $ X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n} $ |
| 逆变换 | $ x[n] = \frac{1}{2\pi i} \oint X(z) z^{n-1} dz $ |
七、常见函数的变换表
| 函数 | Fourier 变换 | Laplace 变换 | Z 变换 |
| $ \delta(t) $ | 1 | 1 | $ \frac{1}{1 - z^{-1}} $ |
| $ u(t) $ | $ \frac{1}{i\omega} + \pi \delta(\omega) $ | $ \frac{1}{s} $ | $ \frac{z}{z - 1} $ |
| $ e^{-at}u(t) $ | $ \frac{1}{a + i\omega} $ | $ \frac{1}{s + a} $ | $ \frac{z}{z - e^{-a}} $ |
| $ \sin(\omega_0 t) $ | $ \frac{i\pi}{2}[\delta(\omega + \omega_0) - \delta(\omega - \omega_0)] $ | $ \frac{\omega_0}{s^2 + \omega_0^2} $ | $ \frac{z \sin(\omega_0 T)}{z^2 - 2z\cos(\omega_0 T) + 1} $ |
结语
复变函数与积分变换是现代数学的重要组成部分，掌握其核心公式有助于深入理解物理现象和工程技术问题。通过系统的整理与归纳，可以更高效地运用这些工具解决实际问题。希望本文能为学习者提供清晰的知识框架和实用的参考资料。