【几何平均数的计算公式】在统计学中，几何平均数是一种常用的平均值计算方法，尤其适用于数据之间存在乘积关系或变化率较大的情况。与算术平均数不同，几何平均数更能反映数据之间的比例关系，常用于计算投资回报率、增长率、指数等。
一、几何平均数的定义
几何平均数（Geometric Mean）是指将一组数值相乘后，再开n次方（n为数值个数）所得的结果。它适用于所有数值均为正数的情况。
二、几何平均数的计算公式
设有一组正数 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，则其几何平均数 $ G $ 的计算公式为：
$$
G = \sqrt[n]{x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n}
$$
或者写成：
$$
G = (x_1 \cdot x_2 \cdot \cdots \cdot x_n)^{\frac{1}{n}}
$$
三、几何平均数的特点
- 适用于比例或增长率数据：如年化收益率、人口增长等。
- 对极端值不敏感：相比算术平均数，几何平均数受异常值影响较小。
- 必须为正数：如果数据中有0或负数，则无法计算几何平均数。
四、常见应用场景
| 应用场景 | 说明 |
| 投资回报率 | 计算多期投资的平均收益率 |
| 经济增长率 | 计算多个年份的平均增长率 |
| 指数计算 | 如消费者价格指数（CPI）、股票指数等 |
| 数据标准化 | 在某些算法中用于平衡不同量纲的数据 |
五、示例计算
假设某公司三年的年化收益率分别为 10%、20%、30%，计算其平均收益率：
1. 转换为小数：1.10、1.20、1.30
2. 相乘：$ 1.10 \times 1.20 \times 1.30 = 1.716 $
3. 开三次方：$ \sqrt[3]{1.716} \approx 1.20 $
4. 转换为百分比：1.20 - 1 = 0.20 → 20%
因此，这三年的平均年化收益率约为 20%。
六、几何平均数 vs 算术平均数
| 特性 | 几何平均数 | 算术平均数 |
| 计算方式 | 乘积开n次方 | 总和除以个数 |
| 适用数据 | 正数、比率、增长率 | 所有数值 |
| 对极端值敏感 | 不敏感 | 敏感 |
| 更适合哪种情况 | 比例关系 | 线性关系 |
七、总结
几何平均数是一种重要的统计工具，特别适用于涉及乘积关系或变化率的数据分析。通过合理的计算方法，可以更准确地反映数据的真实趋势。在实际应用中，应根据数据特点选择合适的平均数类型，以提高分析结果的可靠性。