【数列前n项和公式】在数学中，数列是按照一定顺序排列的一组数。数列的前n项和是指从第一项开始到第n项的所有项的总和。根据数列的类型不同，求前n项和的方法也有所不同。以下是对常见数列前n项和公式的总结。
一、等差数列前n项和
等差数列是指每一项与前一项的差为常数的数列。设首项为 $ a_1 $，公差为 $ d $，则第n项为 $ a_n = a_1 + (n - 1)d $。
前n项和公式：
$$
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d
$$
二、等比数列前n项和
等比数列是指每一项与前一项的比为常数的数列。设首项为 $ a_1 $，公比为 $ r $（$ r \neq 1 $），则第n项为 $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $。
前n项和公式：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}
$$
当 $ r = 1 $ 时，所有项相等，因此：
$$
S_n = n \cdot a_1
$$
三、其他常见数列前n项和
| 数列类型 | 公式 | 说明 |
| 等差数列 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ 或 $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | 公差为d |
| 等比数列 | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（$ r \neq 1 $） | 公比为r |
| 自然数列（1, 2, 3, ..., n） | $ S_n = \frac{n(n + 1)}{2} $ | 等差数列，首项为1，公差为1 |
| 奇数列（1, 3, 5, ..., 2n-1） | $ S_n = n^2 $ | 等差数列，首项为1，公差为2 |
| 平方数列（1², 2², 3², ..., n²） | $ S_n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} $ | 求平方和 |
| 立方数列（1³, 2³, 3³, ..., n³） | $ S_n = \left(\frac{n(n + 1)}{2}\right)^2 $ | 求立方和 |
四、小结
数列前n项和的计算是数学中的基础内容，掌握不同数列的求和公式有助于快速解决实际问题。无论是等差数列还是等比数列，其求和公式都有明确的表达方式。对于一些特殊的数列，如自然数列、奇数列、平方数列等，也有专门的求和公式，便于应用和记忆。
通过合理使用这些公式，可以高效地进行数列求和运算，并为进一步学习数列与级数打下坚实的基础。