【复数四则运算公式】在数学中，复数是由实数和虚数部分组成的数，形式为 $ a + bi $，其中 $ a $ 是实部，$ b $ 是虚部，$ i $ 是虚数单位，满足 $ i^2 = -1 $。复数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法，掌握这些运算是学习复数应用的基础。
以下是对复数四则运算的总结，并以表格形式展示各运算规则与示例。
一、复数四则运算规则总结
1. 加法：两个复数相加时，实部与实部相加，虚部与虚部相加。
2. 减法：两个复数相减时，实部与实部相减，虚部与虚部相减。
3. 乘法：使用分配律展开，注意 $ i^2 = -1 $ 的替换。
4. 除法：通过有理化分母的方式进行，将分母变为实数。
二、复数四则运算公式及示例
| 运算类型 | 公式 | 示例 |
| 加法 | $ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i $ | $ (2 + 3i) + (4 + 5i) = 6 + 8i $ |
| 减法 | $ (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i $ | $ (7 - 2i) - (3 + 4i) = 4 - 6i $ |
| 乘法 | $ (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i $ | $ (1 + 2i)(3 + 4i) = (3 - 8) + (4 + 6)i = -5 + 10i $ |
| 除法 | $ \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2} $ | $ \frac{2 + 3i}{1 + i} = \frac{(2 + 3i)(1 - i)}{1^2 + 1^2} = \frac{5 + i}{2} = 2.5 + 0.5i $ |
三、注意事项
- 在进行复数运算时，要注意虚数单位 $ i $ 的平方为 -1，这是计算过程中容易出错的地方。
- 除法中，通常需要对分母进行共轭处理，以消除分母中的虚数部分。
- 复数运算的结果仍然是一个复数，除非虚部为零，此时结果为实数。
通过掌握复数的四则运算方法，可以更方便地解决涉及复数的数学问题，如电路分析、信号处理、物理力学等领域中常见的复数应用。